a) Chứng minh rằng $AM\bot SB$ và $SM.SB=SN.SC=SP.SD$
Ta có:
$\bullet\,\,\,\,\,\begin{cases}BC\bot SA\\BC\bot AB\end{cases}\to BC\bot \left(SAB\right)\to BC \bot AM$
$\begin{cases}AM \bot BC\\AM \bot SC\end{cases} \to AM \bot \left(SBC\right) \to AM \bot SB$
$\bullet\,\,\,\,\,\begin{cases}CD \bot AD\\CD \bot SA\end{cases}\to CD \bot \left(SAD\right)\to CD \bot AP$
$\begin{cases}AP\bot CD\\AP \bot SC\end{cases}\to AP \bot\left(SCD\right)AP\bot SD$
$\bullet\,\,\,\,\,\Delta{SAB}=\Delta{SAD}$
$\to\begin{cases}SB=SD=\sqrt{SA^2+AB^2}=a\sqrt{3}\\SM=SP=\frac{SA^2}{SB}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\end{cases}$
$\to SM.SB=SP.SD=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}.a\sqrt{3}=2a^2$
$\bullet\,\,\,\,\,\Delta{SAC}$ vuông cân tại $A$
$\to N$ là trung điểm $SC$
$\to SN=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}2a=a$
$\to SN.SC=2a.a=2a^2$
$\bullet\,\,\,\,\, SM.SB=SN.SC=SP.SD=2a^2$
- b) Chứng minh tứ giác $AMNP$ nội tiếp và có $2$ đường chéo vuông góc
Ta có:
$\bullet\,\,\,\,\,AP\bot\left(SCD\right)\to AP\bot NP\to\widehat{APN}=90\circ$
$\bullet\,\,\,\,\,AM\bot\left(SBC\right)\to AM\bot MN\to \widehat{AMN}=90\circ$
Tứ giác $AMNP$ có:
$\widehat{APN}+\widehat{AMN}=180\circ$
$\to AMNP$ là tứ giác nội tiếp
$\bullet\,\,\,\,\,\Delta{SAB}=\Delta{SAD}$
$\to\begin{cases}SM=SP\\AM=AP\end{cases}$
$\bullet\,\,\,\,\,\Delta{SCB}=\Delta{SCD}$
$\to CM=CP$
$\begin{cases}SM=SP\\AM=AP\\CM=CP\end{cases}$
$\to\left(SAC\right)$ là mặt phẳng trung trực của $MP$
$\to AN\bot MP$
Vậy tứ giác $AMNP$ có 2 đường chéo $AN$ và $MP$ vuông góc với nhau
- c) Tính diện tích $AMNP$
Tứ giác $AMNP$ có 2 đường chéo vuông góc với nhau
$\to S_{AMNP}=\dfrac{1}{2}AN.MP$
$\bullet\,\,\,\,\,AN=\dfrac{1}{2}SC=\dfrac{1}{2}.2a=a$
$\bullet\,\,\,\,\,\dfrac{SM}{SB}=\dfrac{MP}{BD}$ ( hệ quả của định lý Ta – let )
$\to MP=\dfrac{SM.BD}{SB}=\dfrac{2a\sqrt{2}}{3}$
$\bullet\,\,\,\,\,S_{AMNP}=\dfrac{1}{2}.a.\frac{2a\sqrt{2}}{3}=\dfrac{a^2\sqrt{2}}{3}$
