a)
$\Delta SAB=\Delta SAD$ ( c.g.c )
$\to SB=SD$
Ta có:
$\begin{cases}SB=SD\\ AB=AD\\CB=CD\end{cases}$$\to \left(SAC\right)$ là mặt phẳng trung trực của $BD$
b)
Ta có:
$\bullet \,\,\,\,\,$$\begin{cases} CB\bot AB\\CB \bot SA\end{cases} \to CB \bot \left(SAB\right) \to CB \bot AH$
$\begin{cases}AH\bot SB\\AH\bot CB\end{cases} \to AH \bot \left(SBC\right) \to AH \bot SC$
$\bullet \,\,\,\,\,$$\begin{cases} CD\bot AD\\CD \bot SA\end{cases} \to CD \left(SAD\right) \to CD \bot AK$
$\begin{cases}AK \bot SD\\AK\bot CD\end{cases} \to AK \bot \left(SCD\right) \to AK \bot SC$
$\bullet \,\,\,\,\,$$\begin{cases} AI \bot SC\\AH \bot SC\\ AK \bot SD\end{cases} \to SC \bot \left (AHKI\right)$
Hay nói cách khác $AH,AI,AK$ cùng thuộc một phẳng.Và mặt phẳng đó vuông góc với $SC$
c)
$\Delta SAB=\Delta SAD$ ( c.g.c )
$\to SH=SK$ ( hai hình chiếu tương ứng bằng nhau )
$\to AH=AK$ ( hai đường cao tương ứng bằng nhau )
$\Delta SBC=\Delta SDC$ ( c.c.c )
$\to \Delta SHC=\Delta SKC$ ( c.g.c )
$\to CH=CK$
$\begin{cases}SH=SK\\AH=AK\\CH=CK\end{cases}$$\to \left(SAC\right)$ là mặt phẳng trung trực của $HK$
$\to HK\bot \left( SAC \right)$
$\to HK\bot AI$
d)
Vì $HK\bot AI$
Nên ${{S}_{AHIK}}=\dfrac{1}{2}HK.AI$
$AC=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}$
$SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+2{{a}^{2}}}=a\sqrt{3}$
$AI.SC=AS.AC\to AI=\dfrac{AS.AC}{SC}=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}$
Vì $SA=AB=AD$ nên $\Delta SAB$ và $\Delta SAD$ cân tại $A$
$\to H,K$ lần lượt là trung điểm $SB,SD$
$\to HK$ là đường trung bình
$\to HK=\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}.AC=\dfrac{1}{2}.a\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
${{S}_{AHIK}}=\dfrac{1}{2}HK.AI=\dfrac{1}{2}.\dfrac{a\sqrt{2}}{2}.\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{a^2\sqrt{3}}{6}$
