S=$\frac{1}{2}$+$\frac{5}{6}$+$\frac{11}{12}$+$\frac{19}{20}$+$\frac{29}{30}$+$\frac{41}{42}$+$\frac{55}{56}$+$\frac{71}{72}$+$\frac{89}{90}$
S=(1-$\frac{1}{2}$)+(1-$\frac{1}{6}$)+(1-$\frac{1}{12}$ )+(1-$\frac{1}{20}$ )+(1-$\frac{1}{30}$)+(1-$\frac{1}{42}$)+(1-$\frac{1}{56}$ )+(1-$\frac{1}{72}$ )+(1-$\frac{1}{90}$ )
S=(1+1+1+1+1+1+1+1+1)-($\frac{1}{2}$+$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{12}$+$\frac{1}{20}$+$\frac{1}{30}$+$\frac{1}{42}$+$\frac{1}{56}$+$\frac{1}{72}$+$\frac{1}{90}$)
S=9-($\frac{1}{1.2}$+$\frac{1}{2.3}$+$\frac{1}{3.4}$+$\frac{1}{4.5}$+$\frac{1}{5.6}$+$\frac{1}{6.7}$+$\frac{1}{7.8}$+$\frac{1}{8.9}$+$\frac{1}{9.10}$
S=9-(1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$)
S=9-(1-$\frac{1}{10}$ )
S=9-$\frac{9}{10}$
S=$\frac{90-9}{10}$
S=$\frac{81}{10}$