Đáp án:
$m \in \mathbb{Z^+}$
Giải thích các bước giải:
Đặt $f(x) = (2m^2-5m+2).(x-1)^{2020}. (x^{2021}-2)+2x+3$
+ Ta có : $2m^2-5m+2=0$
$\to \left[ \begin{array}{l}m=2\\m=\dfrac{1}{2} \end{array} \right.$
$\Rightarrow f(x) = 2x+3=0 \to x=\dfrac{-3}{2}$
$\to$ PT có nghiệm
+ Xét : $2m^2-5m+2 >0$
$\Rightarrow f(x) = (2m^2-5m+2).(x-1)^{2020}.(x^{2021}-2)+2x+3$
$\begin{cases} \lim\limits_{x\to +\infty} f(x) =(2m^2-5m+2).x^{4041}=+\infty \\\lim\limits_{x\to-\infty} f(x) =(2m^2-5m+2).x^{4041}=-\infty\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases} \exists x_1 \in (0;+\infty) : f(x_1)>0\\\exists x_2 \in (-\infty ; 0) : f(x_2) <0\end{cases}$
$\Rightarrow f(x_1).f(x_2) < 0$
$\Rightarrow$ Phương trình có nghiệm $\in (x_2;x_1)$
+ Tương tự : $2m^2-5m+2 < 0 \Rightarrow$ phương trình có 2 nghiệm
Vậy $m \in \mathbb{Z^+}$ thì phương trình có nghiệm
