Xét hàm số $y=f(x)$ có tập xác định trên $D$ và $x_o\in D$
Khi $\lim\limits_{x\to x_o}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$ tồn tại, ta nói đó là đạo hàm của $f(x)$ tại điểm $x_o$:
$f'(x_o)=\lim\limits_{x\to x_o}\dfrac{f(x)-f(x_o)}{x-x_o}$
Khi đặt $\Delta x=x-x_o$, ta gọi đây là số gia của biến số $x$.
Dễ dàng suy ra $x=x_o+\Delta x$
$\Rightarrow f(x)-f(x_o)=f(x_o+\Delta x)-f(x_o)$
$\Delta y=f(x_o+\Delta x)-f(x_o)$ là số gia của hàm số.
$x\to x_o\Leftrightarrow x-x_o\to 0\Leftrightarrow \Delta x\to 0$
Do đó:
$f'(x_o)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_o+\Delta x)-f(x_o)}{\Delta x}$
Có thể hiểu $\Delta x=0,0001$ là số $x$ đã tiến sát $x_o$, chỉ còn cách $0,0001$.
