Đáp án đúng: C

Phương pháp giải:

- Giải phương trình chứa căn \(\sqrt A  = \sqrt B  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}B \ge 0\\A = B\end{array} \right.\).
- Đưa về phương trình bậc hai, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện xác định.Giải chi tiết:Ta có:
\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} + 2x + m}  = \sqrt {3x + 6} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 2x + m = 3x + 6\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} - x + m - 6 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm \(x \ge  - 2\).
Ta có \(\Delta  = 1 - 4\left( {m - 6} \right) =  - 4m + 25 \ge 0 \Leftrightarrow m \le \dfrac{{25}}{4}\)
Khi đó phương trình (*) có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 + \sqrt { - 4m + 25} }}{2}\\{x_2} = \dfrac{{1 - \sqrt { - 4m + 25} }}{2}\end{array} \right.\)
Khi đó ta có: \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{1 + \sqrt { - 4m + 25} }}{2} \ge  - 2\\{x_2} = \dfrac{{1 - \sqrt { - 4m + 25} }}{2} \ge  - 2\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{1 + \sqrt { - 4m + 25} }}{2} + 2 \ge 0\\\dfrac{{1 - \sqrt { - 4m + 25} }}{2} + 2 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5 + \sqrt { - 4m + 25}  \ge 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\5 - \sqrt { - 4m + 25}  \ge 0\end{array} \right.\\ \Rightarrow m \in \mathbb{R}\end{array}\)
Kết hợp điều kiện xác định ta có \(m \le \dfrac{{25}}{4}\).
Vậy có 6 giá trị nguyên dương của \(m\) thỏa mãn.
Chọn C.