Phương pháp giải: Giải phương trình hoành độ giao điểm. Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị hàm số. Giải chi tiết:Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^3} + x + 1 = 1\\ \Leftrightarrow {x^3} + x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 0\end{array}\) Vậy số giao điểm của đồ thị hàm số \(f(x) = {x^3} + x + 1\) và đường thẳng \(y = 1\) là 1. Chọn A.