Số tự nhiên \(n = {111^6}\)có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích tất cả các ước số đó. A.\({111^{150}}\) B.\({111^{148}}\) C.\({111^{147}}\) D.\({111^{145}}\)
Phương pháp giải: Số ước của một số có dạng \({p^a}.{q^b}\) (\(p,q\) nguyên tố và \(a,b \in N*\)) là \(\left( {a + 1} \right) + \left( {b + 1} \right)\) ước số. Giải chi tiết:Ta có \(n = {3^6}{.37^6}.\) Mỗi ước số nguyên dương của \(n\) có dạng \({3^i}{.37^j}\) với \(i \in \left\{ {0,1,2,3,4,5,6} \right\},j \in \left\{ {0,1,2,3,4,5,6} \right\}.\) Vậy \(i\) có thể nhận 7 giá trị, \(j\) có thể nhận 7 giá trị nên \(n\) có tất cả \(7.7 = 49\) ước nguyên dương phân biệt. Nếu \(a\) là một ước nguyên dương của \(n\), \(a e {111^3}\) thì \(b = \frac{n}{a}\) cũng là một ước nguyên dương của \(n\), \(b e a\)(vì nếu \(a = {111^3}\) thì \(b = \frac{{{{111}^6}}}{{{{111}^3}}} = {111^3} = a\)). Khi đó \(a\) và \(b\) tạo thành một cặp ước số nguyên dương của \(n\) có tích đúng bằng \(n\). Trong 49 ước nguyên dương của \(n\), ngoại trừ \({111^3}\) thì 48 ước còn lại tạo thành 24 cặp ước có tính chất như trên. Vậy tích của tất cả các ước nguyên dương phân biệt của \(n\) là \({\left( {{{111}^6}} \right)^{24}}{.111^3} = {111^{147.}}\) Chọn C.