$ a) AB // CD $ $\rightarrow$ $\widehat{BAD} + $$\widehat{ADC} = 180^0 $
$ AE, DE $ lần lượt là phân giác của $\widehat{BAD}$ và $\widehat{ADC}$
$\longrightarrow$ $\widehat{EAD} = $ $\dfrac{\widehat{BAD}}{2}; $ $\widehat{ADE} = $ $\dfrac{\widehat{ADC}}{2}$
$\longrightarrow$ $\widehat{EAD} + $$\widehat{ADE} = 90^0 $
$\longrightarrow$ $\widehat{AED} = 90^0 $
Xét $\Delta$ $AED$ vuông tại $E$ có $M$ là trung điểm của $AD$
$\longrightarrow$ $EM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $AD$
$ EM = AM = MD = $ $ \dfrac{1}{2}AD$
$\Delta$ $MAE$ có: $MA = ME$
$\longrightarrow$ $\Delta$ $MAE$ cân tại $M$
$\longrightarrow$ $\widehat{MAE} = $ $\widehat{MEA}$
Ta lại có: $\widehat{MAE} + $ $\widehat{MEA} + $ $\widehat{AME} = 180 ^0$
$\longrightarrow$ $\widehat{AME} = 180 ^0 - $ $2\widehat{MAE} $
Mà $\widehat{MAB} = $ $2\widehat{MAE} $ $(AE$ là phân giác của $\widehat{A})$
$\longrightarrow$ $\widehat{AME} + $ $\widehat{MAB} = 180^0 $
Mà 2 góc này nằm ở vị trí trong cùng phía nên $ME//AB (1)$
Cmtt $\longrightarrow$ $\Delta$ $BFC$ vuông tại $F$ và $FN//AB (2)$
$M; N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$
$\longrightarrow$ $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ $\longrightarrow$ $MN//AB (3)$
$\longrightarrow$ $M; E; N;F$ cùng nằm trên một đường thẳng.
$b) MN $ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ $\longrightarrow$ $MN = $ $\dfrac{a + b}{2}$
$ME$ là đường trung bình của $\Delta$ $AED$ $\longrightarrow$ $ME = $ $\dfrac{d}{2}$
$FN$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền của $\Delta$ $BFC$ $\longrightarrow$ $FN = $ $\dfrac{c}{2}$
