Cho hàm số $f$ có đạo hàm (khả vi) trên $(a;b)$. Nếu $x_0 \in (a;b)$ là một điểm cực trị của $f$ thì ta có $f’(x_0)=0$.
Chứng minh
Ta chứng minh cho trường hợp $x_0$ là điểm cực tiểu. Trường hợp $x_0$ là điểm cực đại chứng minh tương tự.
Ta có: $ f’(x_0^+) =\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{\Delta x}$.
Do $x_0$ là điểm cực tiểu nên $ f(x)-f(x_0) \geq 0$ khi $x \rightarrow x_0^+$. Do đó, $f’(x_0^+) \geq 0$.
Chứng minh tương tự ta có, $f’(x_0^-) \leq 0$.
Vì hàm số $f$ có đạo hàm tại điểm $x_0$ nên nó có đạo hàm bên phải và đạo hàm bên trái tại $x_0$, và hai giá trị này bằng nhau.
Vậy $f’(x_0^+)=f’(x_0^-)=f’(x_0)=0$
P/s: Đây chính là nội dung của định lí Fermat.
