Lời giải:
a) Xét $ΔAEF$ có:
$AH$ là phân giác của $\widehat{A}\quad (gt)$
$AH\perp EF\quad (gt)$
Do đó: $ΔAEF$ cân tại $A$
$\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{AFE}$
Từ $C$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt $EF$ tại $D$
$\Rightarrow \widehat{AEF} = \widehat{CDF}\quad $ (đồng vị)
Do đó: $\widehat{AFE} = \widehat{CDF}$
Hay $\widehat{CFD} = \widehat{CDF}$
Xét $ΔCDF$ có:
$\widehat{CFD} = \widehat{CDF}\quad (cmt)$
Do đó; $ΔCDF$ cân tại $C$
$\Rightarrow CF = CD\qquad (1)$
Xét $ΔBEM$ và $ΔCDM$ có:
\(\left.\begin{array}{l}BM = MC = \dfrac12BC\quad (gt)\\
\widehat{BME} = \widehat{CMD}:\,\text{đối đỉnh}\\
\widehat{MBE} = \widehat{MCD}:\, \text{so le trong}\\
\end{array}\right\}\)
Do đó: $ΔBEM=ΔCDM\, (g.c.g)$
$\Rightarrow BE = CD\qquad (2)$
Từ $(1)(2) \Rightarrow BE = CF$
b) Ta có:
$ΔAEF$ cân tại $A\quad$ (câu a)
$\Rightarrow AE = AF$
mà $AF = AC + CF$
nên $AE = AC + CF$
$\Leftrightarrow AE = AC + BE$
$\Leftrightarrow AE = AC + AB - AE$
$\Leftrightarrow 2AE = AB + AC$
$\Leftrightarrow AE = \dfrac{AB+AC}{2}$
Ta cũng có:
$\quad BE = AB - AE$
$\Leftrightarrow BE = AB - \dfrac{AB+AC}{2}$
$\Leftrightarrow BE = \dfrac{2AB - (AB + AC)}{2}$
$\Leftrightarrow BE = \dfrac{AB - AC}{2}$
c) Ta có:
$\quad \widehat{CMF} = \widehat{ACB} - \widehat{AFM}$ ($\widehat{ACB}$ là góc ngoài của $ΔCMF$)
$\Leftrightarrow \widehat{CMF} = \widehat{ACB} - \widehat{AEM}$
$\Leftrightarrow \widehat{CMF} = \widehat{ACB} - (\widehat{ABC} + \widehat{BME})$
$\Leftrightarrow \widehat{CMF} = \widehat{ACB} - \widehat{ABC} - \widehat{BME}$
$\Leftrightarrow \widehat{BME} =\widehat{ACB} - \widehat{ABC} - \widehat{BME}$
$\Leftrightarrow 2\widehat{BME}=\widehat{ACB} - \widehat{ABC}$
$\Leftrightarrow \widehat{BME}=\dfrac{\widehat{ACB} - \widehat{ABC}}{2}$
