Hình vẽ (Hình dưới)
a, AM là phân giác trong của ΔABC (gt) ⇒$\hat{A_{1}}=\hat{A_{2}}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}$
Mà $\hat{C_{1}}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}$ (cmt)
⇒ $\hat{A_{1}}=\hat{A_{2}}=\hat{C_{1}}$
Xét ΔAMB và ΔCMN có:
$\hat{A_{1}}=\hat{C_{1}}$ (cmt)
$\widehat{AMB}=\widehat{CMN}$ (hai góc đối đỉnh)
⇒ ΔAMB~ΔCMN (g.g)
⇒ $\frac{MB}{MN}=\frac{AM}{CM}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ BM.MC=MN.MA
b, ΔAMB~ΔCMN (cmt)
⇒ $\hat{B_{1}}=\hat{N_{1}}$ (hai góc tương ứng)
Xét ΔABM và ΔANC có:
$\hat{B_{1}}=\hat{N_{1}}$ (cmt)
$\hat{A_{1}}=\hat{A_{2}}$ (cmt)
⇒ ΔABM~ΔANC (g.g)
c, $\frac{MB}{MN}=\frac{AM}{CM}$ (cmt)
⇒ $\frac{MB}{AM}=\frac{MN}{CM}$
Xét ΔBMN và ΔAMC có
$\frac{MB}{AM}=\frac{MN}{CM}$ (cmt)
$\widehat{BMN}=\widehat{AMC}$ (hai góc đối đỉnh)
⇒ ΔBMN~ΔAMC (c.g.c)
⇒ $\hat{B_{2}}=\hat{A_{2}}$ (hai góc tương ứng)
mà $\hat{A_{1}}=\hat{A_{2}}$ (cmt), $\hat{A_{1}}=\hat{C_{1}}$ (cmt)
⇒ $\hat{B_{2}}=\hat{C_{1}}$
Xét ΔBCN có: $\hat{B_{2}}=\hat{C_{1}}$ (cmt)
⇒ ΔBCN cân tại N
