Tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng : \(\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc

ctvloga156

6 năm trước

Tam giác ABC có các cạnh là a, b, c và có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng :

$\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc< 2$

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 284 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Longtunhan

Theo BĐT tam giác ta có:

$b+c>a\Rightarrow a+b+c>2a\Rightarrow2>2a\Rightarrow a< 1$

Tương tự cũng có: $b<1;c<1$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(\dfrac{1-a+1-b+1-c}{3}\right)^3=\left(\dfrac{3-\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}$

$\Rightarrow0< \left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\dfrac{1}{27}$

$\Rightarrow0< ab+bc+ca-abc-\left(a+b+c\right)+1\le\dfrac{1}{27}$

$\Rightarrow0< ab+bc+ca-abc-1\le\dfrac{1}{27}$

$\Rightarrow1< ab+bc+ca-abc\le\dfrac{28}{27}$

$\Rightarrow2< 2ab+2bc+2ca+a^2+b^2+c^2-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\dfrac{56}{27}$

$\Rightarrow2< \left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\dfrac{56}{27}$

$\Rightarrow2< 4-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\dfrac{56}{27}$

$\Rightarrow\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc< 2$ *Đúng*

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho A, B, C là 3 góc nhọn của tam giác ABC. Chứng minh:

a) $tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC$

Tính min P với $P=tanA+tanB+tanC$

b) $tan\left(\dfrac{A}{2}\right).tan\left(\dfrac{B}{2}\right)+tan\left(\dfrac{B}{2}\right)tan\left(\dfrac{C}{2}\right)+tan\left(\dfrac{C}{2}\right).tan\left(\dfrac{A}{2}\right)=1$

Tìm min T với $T=tan\left(\dfrac{A}{2}\right)+tan\left(\dfrac{B}{2}\right)+tan\left(\dfrac{C}{2}\right)$

Tìm x thuộc N để : x^2+8/x+8 thuộc N

Giúp mình câu này với!

Cho tam giác ABC. Tập hợp những điểm M sao cho: $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MC} +\overrightarrow{MB}\right|$ là:

A. M nằm trên đường trung trực của BC.

B. M nằm trên đường tròn tâm I, R = 2AB với I nằm trên cạnh AB sao cho IA = 2IB.

C. M nằm trên đường trung trực của IJ với I, J lần lượt là trung điểm của AB và BC.

D. M nằm trên đường tròn tâm I, R = 2AC với I nằm trên cạnh AB sao cho IA = 2IB.

giải hpt:

$\left\{{}\begin{matrix}3\left(y^2+x^2\right)+\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}=2\left(10-xy\right)\\2x+\dfrac{1}{x-y}=5\end{matrix}\right.$

1)Với $1\le x\le3$ tìm GTNN của $6\sqrt{x-1}+8\sqrt{3-x}$

2) Tìm GTLN và GTNN của:
a) $A=y-2x+5$ , với $36x^2+16y^2=9$

b) $B=2x-y-2$ , với $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$

giải hpt:

$\left\{{}\begin{matrix}2y^2-x^2=1\\2x^3-y^3=2y-x\end{matrix}\right.$

Chứng minh:

$\dfrac{1-cos\alpha-cos2\alpha+cos3\alpha}{1-2cos\alpha}=2sin^2\alpha$

Tìm A giao B

A tập hợp các tam giác cân

B tập hợp các tam giác vuông

Cho 4 điểm A, B, C, D; I, F lần lượt là trung điểm BC, CD. Chứng minh: $2\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{FA}+\overrightarrow{DA}\right)=3\overrightarrow{DB}$

Cho a,b,c > 0 thỏa a+b+c=1. CM: $\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge30$