Giải thích các bước giải:
a.Gọi $AN\cap BC=D, AE\cap BC=I, AF\cap BC=G, AM\cap BC=H$
Ta có:
$BM$ là phân giác $\widehat{ABC}\to BM$ là phân giác $\widehat{ABH}$
Mà $BM$ là phân giác $\widehat{ABH}$
$\to \Delta ABH$ có đường cao vừa là phân giác
$\to M$ là trung điểm $AH$
Chứng minh tương tự
$\to N,E,F$ là trung điểm $AD, AI, AG$
$\to NE,NM,NF$ là đường trung bình $\Delta ADI,\Delta ADH,\Delta ADG$
$\to NE//DI, NM//DH, NF//DG$
$\to NE//BC, NM//BC, NF//CB$
$\to N,E,M,F$ thẳng hàng
b.Ta có: $\Delta ABD$ có đường phân giác $BN$ đồng thời là đường cao $\to BA=BD$
Chứng minh tương tự $CA=CG$
$\to DG=DB+BC+CG=AB+BC+CA$
Mà $NF$ là đường trung bình $\Delta ADG$
$\to NF=\dfrac12DG=\dfrac12(AB+BC+CA)$
