Giải thích các bước giải:
a.Ta có:
$\Delta ABC$ vuông tại $A$
$\to BC^2=AB^2+AC^2$
$\to AC^2=BC^2-BA^2=16$
$\to AC=4$
Mà $AH\perp BC$
$\to AH.BC=AB.AC(=2S_{ABC})$
$\to AH=\dfrac{AB.AC}{CB}=\dfrac{12}{5}$
$\to BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\dfrac95$
Ta có:
$\sin B=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac45$
$\to \hat B=\arcsin B=\arcsin(\dfrac45)$
b.Ta có:
$\Delta AHB$ vuông tại $H, HM\perp AB$
$\to AM.AB=AH^2$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
Tương tự $AN.AC=AH^2\to AM.AB=AN.AC$
$\to\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$
c.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $A, AH\perp BC$
$\to AH^2=HB.HC$(Hệ thức lượng trong tam giác vuông)
$\to (AH^2)^2=(HB.HC)^2$
$\to AH^4=HB^2.HC^2$
$\to AH^4=(BM.BA). (CN.CA)$
$\to AH^4=(AB.AC).BM.CN$
$\to AH^4=(AH.BC).BM.CN$
$\to AH^3=BM.CN.BC$
d.Ta có: $\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB},\widehat{MAN}=\widehat{BAC}$
$\to \Delta AMN\sim\Delta ACB(c.g.c)$
$\to \dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=(\dfrac{MN}{BC})^2$
Ta có $HM\perp AB, HN\perp AC, AB\perp AC\to AMHN$ là hình chữ nhật $\to MN=AH=\dfrac{12}{5}$
$\to \dfrac{MN}{BC}=\dfrac{12}{25}$
$\to \dfrac{S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{144}{625}$
$\to \dfrac{S_{ABC}-S_{AMN}}{S_{ABC}}=\dfrac{625-144}{625}$
$\to \dfrac{S_{BMNC}}{S_{ABC}}=\dfrac{481}{625}$
$\to S_{BMNC}=\dfrac{481}{625}S_{ABC}$
$\to S_{BMNC}=\dfrac{481}{625}\cdot\dfrac12AB\cdot AC$
$\to S_{BMNC}=\dfrac{2886}{625}$
