Xét $∆ABC$ có:
$BM =MC =\dfrac{1}{2}BC\quad (gt)$
$MH//AC\quad (\perp AB)$
$\Rightarrow AH = HB =\dfrac{1}{2}AB$
$\Rightarrow CH$ là trung tuyến
Gọi $CH\cap AM = \left\{G\right\}$
$\Rightarrow G$ là trọng tâm $∆ABC$
$\Rightarrow AG = 2GM$
Xét tứ giác $AMBN$ có:
$AH = HB =\dfrac{1}{2}AB\quad (gt)$
$MH = HN=\dfrac{1}{2}MN\quad (gt)$
$\Rightarrow AMBN$ là hình bình hành
$\Rightarrow AM//BN$
Áp dụng định lý $Thales$ ta được:
$\dfrac{NI}{GM}=\dfrac{NH}{HM} = 1$
$\dfrac{IB}{AG}=\dfrac{HB}{AH}=1$
$\Rightarrow \dfrac{NI}{GM}=\dfrac{IB}{AG}$
$\Rightarrow \dfrac{NI}{IB}=\dfrac{GM}{AG} = \dfrac12$
$\Rightarrow BI = 2IN$
