a) Áp dụng định lý Pytago, ta được:
$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$\Rightarrow AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AB^2 = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{AB^2}{BC} = \dfrac{12^2}{20} = \dfrac{36}{5}$
$AB.AC = AH.BC = 2S_{ABC}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{AB.AC}{BC} = \dfrac{12.16}{20} = \dfrac{48}{5}$
b) Ta có:
$AB.BC = AB(BH + CH) = AB.BH + AB.CH$
Ta lại có:
$ΔABH \sim ΔCAH \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AH}{CH}$
$\Rightarrow AB.CH = AC.AH$
Do đó ta được:
$AB.BC = AB.BH + AC.AH$
c)Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$AH^2 = AE.AC \Rightarrow AE = \dfrac{AH^2}{AC} = \dfrac{\dfrac{48^2}{5^2}}{16} = \dfrac{144}{25}$
$AH^2 = AD.AB \Rightarrow AD = \dfrac{AH^2}{AB} = \dfrac{\dfrac{48^2}{5^2}}{12} = \dfrac{192}{25}$
Ta được:
$S_{BDEC} = S_{ABC} - S_{ADE} = \dfrac{1}{2}(AB.AC - AD.AE) = \dfrac{1}{2}\left(12.16 - \dfrac{144}{25}\cdot\dfrac{192}{25}\right) = \dfrac{184704}{625} \approx 295,5$
