$\text{a) Xét ΔABE và ΔKBE có:}$
$\text{$\widehat{ABE}$ = $\widehat{KBE}$ (BD là tia phân giác $\widehat{B})$}$
$\text{BE chung}$
$\text{$\widehat{AEB}$ = $\widehat{KEB}$ = $90^{o}$ (AE ⊥BD)}$
⇒ $\text{ΔABE = ΔKBE (g.c.g) (1)}$
⇒ $\text{BA = BK (2 cạnh tương ứng)}$
⇒ $\text{ΔABK cân tại B (dấu hiệu nhận biết)}$
$\text{b) Xét ΔABD và ΔKBD có:}$
$\text{BD chung}$
$\text{$\widehat{ABD}$ = $\widehat{KBD}$ (BD là tia phân giác $\widehat{B})$}$
$\text{BA = BK (cmt)}$
⇒ $\text{ΔABD = ΔKBD (c.g.c)}$
⇒ $\text{$\widehat{BAD}$ = $\widehat{BKD}$ (2 góc tương ứng)}$
$\text{mà $\widehat{BAD}$ = $90^{o}$ (ΔABC vuông tại A)}$
⇒ $\text{$\widehat{BKD}$ = $90^{o}$}$
⇒ $\text{DK ⊥BC (dấu hiệu nhận biết)}$
$\text{c) Xét ΔAED và ΔKED có:}$
$\text{ED chung}$
$\text{$\widehat{AED}$ = $\widehat{KED}$ = $90^{o}$}$
$\text{Từ (1) ⇒ AE = KE (2 cạnh tương ứng)}$
⇒ $\text{ΔAED = ΔKED (c.g.c)}$
⇒ $\text{$\widehat{EAD}$ = $\widehat{EKD}$ (2 góc tương ứng)}$
$\text{Có: AH ⊥ BC (gt)}$
$\text{DK ⊥ BC (cmt)}$
⇒ $\text{AH // DK (từ ⊥ ⇒ //)}$
⇒ $\text{$\widehat{HAE}$ = $\widehat{EKD}$ (so le trong)}$
$\text{mà $\widehat{EAD}$ = $\widehat{EKD}$ (cmt)}$
⇒ $\text{$\widehat{IAE}$ = $\widehat{EAD}$ (= $\widehat{EKD}$)}$
⇒ $\text{AK là tia phân giác của $\widehat{HAC}$}$
$\text{d) Xét ΔAEI và ΔKED có:}$
$\text{$\widehat{AEI}$ = $\widehat{KED}$ = $90^{o}$}$
$\text{AE = KE (cmt)}$
$\text{$\widehat{IAE}$ = $\widehat{EKD}$ (cmt)}$
⇒ $\text{ΔAEI = ΔKED (g.c.g)}$
⇒ $\text{IE = DE (2 cạnh tương ứng)}$
$\text{Xét ΔKEI và ΔAED có:}$
$\text{EK = EA (cmt)}$
$\text{$\widehat{KEI}$ = $\widehat{AED}$ = $90^{o}$}$
$\text{IE = DE (cmt)}$
⇒ $\text{ΔKEI = ΔAED (c.g.c)}$
⇒ $\text{$\widehat{KIE}$ = $\widehat{ADE}$ (2 góc tương ứng)}$
$\text{mà 2 góc này ở vị trí so le trong}$
⇒ $\text{IK // AC (dấu hiệu nhận biết)}$
d) Cách 2:
$\Delta ABK$ có 2 đường cao $AH, BE$ cắt nhau tại $I$
nên $I$ là trực tâm của $\Delta ABK\Rightarrow KI\bot AB$ mà $AC\bot AB$
$\Rightarrow KI//AC$.
