Đáp án:
a) $\left[ \begin{array}{l}x=k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{array} \right.$ ($k∈\mathbb{Z}$)
b) Phương trình vô nghiệm
Giải thích các bước giải:
a) Đặt $sinx+cosx=t$, $-\sqrt[]{2}≤t≤\sqrt[]{2}$, ta có:
$t^2=(sinx+cosx)^2$
$=(sin^2x+cos^2x)+2sinxcosx$
$=1+sin2x$
$→ sin2x=t^2-1$
Ta có phương trình sau khi biến đổi:
$2t+3(t^2-1)=2$
$↔ 3t^2+2t-5=0$
$↔ \left[ \begin{array}{l}t=1\\t=-\dfrac{5}{3}\end{array} \right.$
Loại $t=-\dfrac{5}{3}$ vì $-\dfrac{5}{3}∉[-\sqrt[]{2};\sqrt[]{2}]$
Với $t=1$, ta có:
$sinx+cosx=1$
$↔ \dfrac{1}{\sqrt[]{2}}sinx+\dfrac{1}{\sqrt[]{2}}cosx=\dfrac{1}{\sqrt[]{2}}$
$↔ sinx.cos\dfrac{\pi}{4}+sin\dfrac{\pi}{4}.cosx=\dfrac{1}{\sqrt[]{2}}$
$↔ sin\Bigg(x+\dfrac{\pi}{4}\Bigg)=sin\dfrac{\pi}{4}$
$↔ \left[ \begin{array}{l}x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\\x+\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}+k2\pi\end{array} \right.$
$↔ \left[ \begin{array}{l}x=k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\end{array} \right.$ ($k∈\mathbb{Z}$)
b) $cosx-\sqrt[]{3}sinx=5$
$↔ \dfrac{1}{2}cosx-\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}sinx=\dfrac{5}{2}$
$↔ sin\dfrac{\pi}{6}cosx-cos\dfrac{\pi}{6}sinx=\dfrac{5}{2}$
$↔ sin\Bigg(\dfrac{\pi}{6}-x\Bigg)=\dfrac{5}{2}$
Vô lí vì $-1≤sin\Bigg(\dfrac{\pi}{6}-x\Bigg)≤1$
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
