Đáp án:
`xy + yz + zx = 3xyz -> 1/x + 1/y + 1/z = 3`.
Đặt `1/x = a ; 1/y = b ; 1/z = c (a,b,c > 0` và `a + b + c = 3)`
`P = (bc)/(\sqrt{bc + 3a}) + (ca)/(\sqrt{ca + 3b}) + (ab)/(\sqrt{ab + 3c})`
`= (bc)/(\sqrt{bc + (a + b + c)a}) + (ca)/(\sqrt{ca + (a + b + c)b}) + (ab)/(\sqrt{ab + (a + b + c)c})`
`= (bc)/(\sqrt{(a + b)(a + c)}) + (ca)/(\sqrt{(a + b)(b + c)}) + (ab)/(\sqrt{(a + c)(b + c)})`
`= 1/2[(bc). 2/(\sqrt{(a + b)(a + c)}) + (ca). 2/(\sqrt{(a + b)(b + c)}) + (ab) . 2/(\sqrt{(a + c)(b + c)})]`
Áp dụng ` Cô si ` có
`P <= 1/2 ((bc)/(a + b) + (bc)/(a + c) + (ca)/(a + b) + (ca)/(b + c) + (ab)/(a +c) + (ab)/(b + c))`
`= 1/2 ((bc + ac)/(a + b) +(bc + ab)/(a + c) + (ca + ab)/(b + c))`
`= 1/2 [(c(a + b))/(a + b) + [b(a + c)]/(a + c) + [a(b + c)]/(b + c)]`
`= 1/2 (c + b + a) = 1/2 . 3 = 3/2`
Dấu "=" `↔ x = y = z = 1`
Vậy `GTLN` của `P = 3/2 ↔ x = y = z = 1`
Giải thích các bước giải:
