Đáp án:
`min_P=(3\sqrt{3})/2<=>x=y=z=\sqrt{3}`
Giải thích các bước giải:
`(y^2z^2)/(y^2+z^2)`
`=1/((y^2+z^2)/(y^2z^2))`
`=1/(1/y^2+1/z^2)`
`=>(y^2z^2)/(x(y^2+z^2))=1/(x(1/y^2+1/z^2))=1/(x(1-1/x^2))`
Tương tự ta có:
`(z^2x^2)/(y(z^2+x^2))=1/(y(1/x^2+1/z^2))=1/(y(1-1/y^2))`
`(x^2y^2)/(z(x^2+y^2))=1/(z(1/x^2+1/y^2))=1/(z(1-1/z^2))`
`=>P>=1/(x(1-1/x^2))+1/(y(1-1/y^2))+1/(z(1-1/z^2))`
`=>P>=(1/x^2)/(1/x(1-1/x^2))+(1/y^2)/(1/y(1-1/y^2))+(1/z^2)/(1/z(1-1/z^2))`
Áp dụng bất đẳng thức cosi cho 3 số dương`((a+b+c)^3>=27abc)` ta có:
`27*2/x^2*(1-1/x^2)(1-1/x^2)<=(2/x^2+1-1/x^2+1-1/x^2)^3=8`
`<=>1/x^2*(1-1/x^2)^2<=4/27`
`<=>1/x(1-1/x^2)<=2/(3\sqrt{3})=2/(3\sqrt{3})`
`<=>(1/x^2)/(1/x(1-1/x^2))>=(3\sqrt{3}*1/x^2)/2`
Hoàn toàn tương tự ta có:
`(1/y^2)/(1/y(1-1/y^2))>=(3\sqrt{3}*1/y^2)/2`
`(1/z^2)/(1/z(1-1/z^2))>=(3\sqrt{3}*1/z^2)/2`
`<=>P>=(3\sqrt{3}(1/x^2+1/y^2+1/z^2))/2=(3\sqrt{3})/2`
Dấu "=" xảy ra khi `x=y=z=\sqrt{3}`
Vậy `min_P=(3\sqrt{3})/2<=>x=y=z=\sqrt{3}`
