Đáp án:
$(x;y)\in \{(1;2),(-1;-2),(2;1),(-2;-1)\}$
Giải thích các bước giải:
$\quad x^2 + y^2 + 5 = x^3y + xy^3$
$\Leftrightarrow (x^2 - x^3y) + (y^2 - xy^3) = -5$
$\Leftrightarrow x^2(1-xy) + y^2(1-xy)= -5$
$\Leftrightarrow (1-xy)(x^2 + y^2) = -5\qquad (*)$
$(*)$ là phương trình nghiệm nguyên của $-5$ với $x^2 + y^2$ là ước nguyên dương
Ta có các trường hợp:
$+)\quad \begin{cases}1 - xy = -1\\x^2 + y^2 = 5\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x = \dfrac2y\\\dfrac{4}{y^2} + y^2 = 5\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x =\dfrac2y\\y^4 - 5y^2 + 4 = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x =\dfrac2y\\\left[\begin{array}{l}y^2 = 1\\y^2 = 4\end{array}\right.\end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\begin{cases}x = 2\\y = 1\end{cases}\\\begin{cases}x = -2\\y = -1\end{cases}\\\begin{cases}x = 1\\y = 2\end{cases}\\\begin{cases}x = -1\\y = -2\end{cases}\end{array}\right.$
$+)\quad \begin{cases}1 - xy = -5\\x^2 + y^2 = 1\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x =\dfrac6y\\\dfrac{36}{y^2} + y^2 = 1\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x =\dfrac6y\\y^4 - y^2 + 36 = 0\quad \text{(vô nghiệm)}\end{cases}$
Vậy phương trình có các cặp nghiệm là: $(1;2),(-1;-2),(2;1),(-2;-1)$
