Đáp án:
`min C=6065 ↔` $\begin{cases} -2022 ≤x≤2021\\y=1 \end{cases}$
Giải thích các bước giải:
`C = |x-2021| + |x+2022| + y^2 - 2y + 2023`
`-> C = |x+2022| + |x - 2021| + y^2 - y - y + 1 + 2022`
`-> C = |x+2022| + |2021 - x| + (y^2 - y) - (y-1) + 2022`
`->C = |x+2022| + |2021-x| + y (y-1) - (y-1) + 2022`
`-> C = |x+2022| + |2021-x| + (y-1)(y-1) + 2022`
`-> C = |x+2022| + |2021-x| + (y-1)^2 + 2022`
Áp dụng BĐT `|a| + |b| ≥ |a+b|` có :
`-> |x+2022| + |2021 - x| ≥ |x+2022 + 2021 - x| = |4043| = 4043`
`-> |x+2022| + |2021 - x| + (y-1)^2 + 2022 ≥ 4043 + 0 + 2022 = 6065` (Do `(y-1)^2 ≥ 0 ∀ y`)
`-> C ≥ 6065 ∀ x,y`
Dấu "`=`" xảy ra khi :
`↔` $\begin{cases} (x+2022) (2021-x) ≥ 0\\(y-1)^2=0\end{cases}$
`↔` $\begin{cases} (x+2022) (2021-x) ≥ 0\\y-1=0 \end{cases}$
`↔` $\begin{cases} (x+2022) (2021-x) ≥ 0\\y=1 \end{cases}$
$\bullet$ `(x+2022) (2021-x) ≥ 0`
Trường hợp 1 :
`->x+2022 ≥ 0, 2021 - x ≥ 0`
`-> x ≥ -2022, x ≤ 2021`
`-> -2022 ≤ x≤2021` (Luôn đúng)
Trường hợp 2 :
`-> x+2022 ≤ 0, 2021- x≤ 0`
`->x ≤ -2022, x ≥ 2021`
`-> 2021 ≤x≤-2022` (Vô lí)
Vậy `min C=6065 ↔` $\begin{cases} -2022 ≤x≤2021\\y=1 \end{cases}$