Theo giả thiết ta có $x_3=x_1+1, x_4=x_2+1$. Theo hệ thức Viète ta được:
$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - b(1)\\ {x_1}{x_2} = c(2)\\ \left( {{x_1} + 1} \right) + \left( {{x_2} + 1} \right) = {b^2}(3)\\ \left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 2} \right) = bc(4) \end{array} \right.$
Từ $(1)$ và $(3)$: $b^2+b-2=0\Leftrightarrow (b-1)(b+2)=0\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b=1\\b=-2\end{array} \right.$
Từ $(4)$: $x_1x_2+x_1+x_2+1=bc$. Do đó:
$c-b+1=bc(5)$
Với $b=1$, $(5)$ luôn đúng. Khi đó phương trình $x^2+bx+c=0$ trở thành $x^2+x+c=0$, có nghiệm nếu $\Delta=1-4c\ge 0\Leftrightarrow c\le -\dfrac{1}{4}$; phương trình $x^2-b^2x+bc=0$ trở thành $x^2-x+c=0$ có nghiệm, cũng có nghiệm khi $c\le \dfrac{1}{4}$
Với $b=-2$ $(5)$ trở thành
$c+3=-2c\Rightarrow c=-1$. Khi đó phương trình $x^2+bx+c=0$ trở thành $x^2-2x-1=0$ có nghệm $1\pm\sqrt{2}$; phương trình $x^2-b^2x+bc=0$ trở thành $x^2-4x+2=0$
có nghệm $2\pm\sqrt{2}$
Kết luận: $b=1,c\le-\dfrac{1}{4}; b=-2, c=-1$
