a) Xét $ΔMIN$ và $ΔPIE$ có:
$IM = IN$ $(gt)$
$IN = IE$ $(gt)$
$\widehat{MIN} = \widehat{PIE}$ (đối đỉnh)
Do đó $ΔMIN = ΔPIE$ $(c.g.c)$
b) Ta có: $ΔMIN = ΔPIE$ (câu a)
⇒ $MN = EP$
mà $MN = MP$ $(gt)$
nên $EP = MP$
⇒ $ΔPEM$ cân tại $P$
c) Do $ΔMIN = ΔPIE$
⇒ $\left \{ {{\widehat{MNI}=\widehat{PEI}} \atop {MN=EP}} \right.$
⇒ $MNPE$ là hình bình hành
⇒ $ME // NP$
Xét $ΔMEK$ có:
$ME // NP$ $(cmt)$
$MP = PK$ $(gt)$
⇒ $NP$ là đường trung bình của $ΔMEK$
⇒ $NP$ đi qua trung điểm của $EK$
Cách 2:
Ta có: $I$ là trung điểm $NE$ $(IN=IE$
⇒ $IK$ là trung tuyến ứng với cạnh $NE$
Ta lại có: $PK = PM$ $(gt)$
$IP = \dfrac{PM}{2}$
⇒ $PK + IP = \dfrac{PM}{2} + PM$
⇒ $IK = \dfrac{3}{2}PM$
⇒ $IK = \dfrac{3}{2}PK$
hay $PK = \dfrac{2}{3}PK$
Xét $ΔNEK$ có:
$KI$ là trung tuyến ứng với cạnh $NE$
và $IK = \dfrac{3}{2}PK$ $(cmt)$
⇒ $P$ là trọng tâm của $ΔNEK$
⇒ $NP$ là trung tuyến ứng với cạnh $EK$
hay $NK$ đi qua trung điểm của $EK$
