Tính tích phân \(K = \int\limits_0^1 {2x\ln \left( {1 + {x^2}} \right)dx} \)
Giải:
Đặt \(1 + {x^2} = t \Rightarrow 2xdx = dt\).
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1,x = 1 \Rightarrow t = 2\)
\( \Rightarrow K = \int\limits_1^2 {\ln tdt} \)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow K = \left. {x\ln x} \right|_1^2 - \int\limits_1^2 {dx} = \left( {2.\ln 2 - 1.\ln 1} \right) - \left. x \right|_1^2\\ = 2\ln 2 - \left( {2 - 1} \right) = 2\ln 2 - 1\end{array}\)