Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) Điều kiện 0 ≤ y ≤ x
Áp dụng BĐT
(a + b)² ≤ 2(a² + b²) <=> a + b ≤ √2(a² + b²) với a = √(x + y); b = = √(x - y)
Xét PT thứ nhất ta có :
VT = 2√(x + y) + 2√(x - y) ≤ 2√[2(x + y) + (x - y) = 4√x (1)
Mặt khác áp dụng BĐT cô si:
VP = 4 + √(x² + y²) ≥ 4 + x ≥ 4√x (2)
Từ (1) và (2) suy ra PT thứ nhất chỉ xảy ra khi đồng thời xảy ra dấu = ở (1) và (2) hay khi :
{ x + y = x - y
{ y = 0 và x = 4
các giá trị x = 4; y = 0 thỏa PT thứ hai
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (4; 0)
2) Đặt x = y + m hay x - y = m với m ≥ 0
Xét hiệu:
x^3 - y^3 - 3x + 3y + 4 = (x - y)^3 + 3xy(x - y) - 3(x - y) + 4 = m^3 + 3my(y + m) - 3m + 4 = 3my² + 3m²y - 3m + 4
Tam thức bậc 2 f(y) = 3my² + 3m²y - 3m + 4 có biệt thức :
Delta = - 3m(m + 4)(m - 2)² ≤ 0 nên f(y) cùng dấu với hệ số a = 3m với mọi y
Nghĩa là x^3 - y^3 - 3x + 3y + 4 ≥ 0
Hay : x^3 - 3x + 4 ≥ y^3 - 3y với mọi x ≥ y
