Đáp án:
$a< 0;\, b = 0$
Giải thích các bước giải:
$x^3 + ax + b = 0\quad (*)$
Phương trình có $3$ nghiệm lập thành cấp số cộng
$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 + x_3 = 2x_2\\x_1 + x_2 + x_3 = 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow 3x_2 = 0\\x_1x_3 = 0$
$\Leftrightarrow x_2 = 0$
Với $x_2 = 0$ ta được:
$(*)\Leftrightarrow 0^3 + a.0 + b = 0$
$\Leftrightarrow b = 0$
Khi đó:
$(*)\Leftrightarrow x^3 + ax = 0$
$\Leftrightarrow x(x^2 + a) = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x^2 + a = 0\quad (**)\end{array}\right.$
$(**)$ có $3$ nghiệm lập thành cấp số cộng
$\Leftrightarrow (*)$ có $2$ nghiệm phân biệt đối xứng nhau qua $0$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_{(**)}' > 0\\x_1 + x_3 = 0\\x_1x_3 < 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}a < 0\\0 = 0\quad \text{(hiển nhiên)}\\a < 0\end{cases}\Leftrightarrow a<0$
Vậy $a< 0;\, b = 0$
