Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
1Giải chi tiết:Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\y \ge 2\\z \ge 3\\6 \le x + y + z \le 9\end{array} \right..\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = a\\y - 2 = b\\z - 3 = c\end{array} \right.\,\,\,\left( {a,\,\,b,\,\,c \ge 0} \right)\)
Ta có: \(6 \le x + y + z \le 9\) \( \Rightarrow 0 \le a + b + c \le 3.\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow \sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c  + 5\left( {a + 1} \right) + 4\left( {b + 2} \right) + 3\left( {c + 3} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \left( {a + 1} \right)\left( {b + 2} \right) + \left( {b + 2} \right)\left( {c + 3} \right) + \left( {a + 1} \right)\left( {c + 3} \right) + 11\\ \Leftrightarrow \sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c  + 5a + 5 + 4b + 8 + 3c + 9\\\,\,\,\, = ab + 2a + b + 2 + bc + 3b + 2c + 6 + ac + 3a + c + 3 + 11\\ \Leftrightarrow \sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c  + 5a + 4b + 3c + 22\\\,\,\,\,\, = ab + bc + ca + 5a + 4b + 3c + 22\\ \Leftrightarrow \sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c  = ab + bc + ca\end{array}\)
Với \(\forall a \ge 0\) ta có: \({\left( {\sqrt a  - 1} \right)^2}\left( {a + 2\sqrt a } \right) \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {a - 2\sqrt a  + 1} \right)\left( {a + 2\sqrt a } \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 2a\sqrt a  - 2a\sqrt a  - 4a + a + 2\sqrt a  \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 3a + 2\sqrt a  \ge 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt a  \ge 3a - {a^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt a  \ge a\left( {3 - a} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt a  \ge a\left( {a + b + c - a} \right)\\ \Leftrightarrow 2\sqrt a  \ge a\left( {b + c} \right)\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)
Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2\sqrt b  \ge b\left( {c + a} \right)\,\,\,\,\left( 4 \right)\\2\sqrt c  \ge c\left( {a + b} \right)\,\,\,\,\,\left( 5 \right)\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của \(\left( 3 \right),\,\,\left( 4 \right)\) và \(\left( 5 \right)\) ta được:
\(2\left( {\sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c } \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\) \( \Leftrightarrow \sqrt a  + \sqrt b  + \sqrt c  \ge ab + bc + ca\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b = c\\a = b = c = 1\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\y - 2 = 0\\z - 3 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 1\\y - 2 = 1\\z - 3 = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\\z = 4\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy các cặp \(\left( {x;\,\,y;\,\,z} \right)\) thỏa mãn bài toán là: \(\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right)\) và \(\left( {2;\,\,3;\,\,4} \right).\)