Đáp án:
$a=4;b=3$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$\begin{array}{l}
\left( {{a^2} - 2} \right) \vdots \left( {ab + 2} \right)\\
\Rightarrow b\left( {{a^2} - 2} \right) \vdots \left( {ab + 2} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {{a^2}b - 2b} \right) \vdots \left( {ab + 2} \right)\\
\Leftrightarrow \left( {a\left( {ab + 2} \right) - 2\left( {a + b} \right)} \right) \vdots \left( {ab + 2} \right)\\
\Leftrightarrow 2\left( {a + b} \right) \vdots \left( {ab + 2} \right)\\
\Leftrightarrow 2\left( {a + b} \right) = k\left( {ab + 2} \right)\left( {k \in N*} \right)
\end{array}$
+) TH1: Nếu $k=1$ thì $2(a+b)=ab+2$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow ab - 2a - 2b = 2\\
\Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right) = 2
\end{array}$
$\to $ $a - 2,b - 2$ là cặp ước của $2$
Mà $a,b \in N* \Rightarrow a - 2,b - 2 \ge - 1$ nên:
$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a - 2 = 1\\
b - 2 = 2
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
a - 2 = 2\\
b - 2 = 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 3;b = 4\\
a = 4;b = 3
\end{array} \right.$
Thử lại:
+) $a=3;b=4$ thì $\dfrac{{{a^2} - 2}}{{ab + 2}} = \dfrac{{{3^2} - 2}}{{3.4 + 2}} = \dfrac{7}{{14}} = \dfrac{1}{2}\left( l \right)$
+) $a=4;b=3$ thì $\dfrac{{{a^2} - 2}}{{ab + 2}} = \dfrac{{{4^2} - 2}}{{3.4 + 2}} = \dfrac{{14}}{{14}} = 1\left( c \right)$
+)TH2: Nếu $k\ge 2$ ta có:
$\begin{array}{l}
2\left( {a + b} \right) \ge 2\left( {ab + 2} \right)\\
\Leftrightarrow ab - a - b + 2 \le 0\\
\Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + 1 \le 0
\end{array}$
Mà $a,b \in N* \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a - 1 \ge 0\\
b - 1 \ge 0
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) + 1 > 0$
$\to k\ge 2$ Không tìm được $a,b$ thỏa mãn
Vậy $a=4;b=3$
