Đáp án:
\[\left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\frac{{{x^5} - 4{x^4} + {x^3} + 14{x^2} - 17x + 2}}{{{x^3} - 4{x^2} + 5x - 2}}\\
= \frac{{\left( {{x^5} - 2{x^4}} \right) - \left( {2{x^4} - 4{x^3}} \right) - \left( {3{x^3} - 6{x^2}} \right) + \left( {8{x^2} - 17x} \right) - \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right) - \left( {2{x^2} - 4x} \right) + x - 2}}\\
= \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 8x - 1} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}\\
= \frac{{{x^4} - 2{x^3} - 3{x^2} + 8x - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}\\
= \frac{{\left( {{x^4} - 2{x^3} + {x^2}} \right) - \left( {4{x^2} - 8x + 4} \right) + 3}}{{{x^2} - 2x + 1}}\\
= \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) + 3}}{{{x^2} - 2x + 1}}\\
= {x^2} - 4 + \frac{3}{{{x^2} - 2x + 1}}
\end{array}\)
Do đó, để B có giá trị nguyên thì \(\frac{3}{{{x^2} - 2x + 1}}\) phải có giá trị nguyên
Hay \({x^2} - 2x + 1\) là ước của 3
Mà \({x^2} - 2x + 1 = {\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) nên \(\left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x + 1 = 1\\
{x^2} - 2x + 1 = 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 2
\end{array} \right.\)
