Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Ta có: `p^q + 1 = q^p`. Vì `q,p` là các số nguyên tố nên ta xét:
+) Xét `p,q` cùng chẵn `=>q=p=2`, khi đó ta có:
`2^2 + 1 = 2^2` (vô lí)
+) Xét `p,q` cùng lẻ
`=>p^q` là một số lẻ, tương tự `q^p` cũng là một số lẻ.
`=>` vế phải là một số chẵn, vế trái là một số lẻ (loại)
`=>` Trong hai số `p,q` có `1` số chẵn, `1` số lẻ.
_________
+) Xét trường hợp khi `p` là số lẻ và `q` là số chẵn `=> q=2.`
Khi đó phương trình `<=> p^2 + 1 = 2^p.`
Xét `p≥3` mà `p` là số nguyên tố `=>p` có dạng `2k+1(k≥1)`
`=> (2k+1)^2 = 2^{2k+1}`
`<=> 4k^2 + 4k + 1 + 1 = 2^{2k}.2`
`<=>4k^2+4k+2=4^k . 2`
`<=>2k^2+2k+1=4^k`
Ta thấy với `k≥1` thì vế trái chia `2` dư `1`, vế phải chia hết cho `2.`
`=>` Phương trình vô nghiệm.
_________
+) Xét trường hợp khi `q` là số lẻ và `p` là số chẵn `=> p=2.`
Khi đó ta có: `2^q + 1 = q^2`
`<=> 2^q = q^2 - 1`
`<=> 2^q = (q-1)(q+1)`
Ta có: `q+1 - (q-1) = 2`
`=> q-1; q+1` cùng tính chẵn lẻ. Mà `q>2` `=> 2^q` là một số chẵn.
`=> q-1; q+1` đều chẵn.
Đặt `q-1= 2^m` và `q+1=2^n` `(n>m≥0), m+n=q`
`=>2^n- 2^m = q +1 - (q-1)`
`<=>2^m (2^{n-m} - 1) = 2.1`
Ta xét: `2^{n-m} -1` là một số lẻ vì `n>m.`
Đẳng thức trên xảy ra khi $\quad \begin{cases} 2^m=2\quad\\2^{n-m} -1=1\quad\end{cases}$
`<=> ` $\quad \begin{cases} m=1\quad\\2^{n-1} =2\quad\end{cases}$
`<=> ` $\quad \begin{cases} m=1\quad\\n=2\quad\end{cases}$
`=>q=m+n=1+2=3.`
Thử lại ta có: `2^3+1=3^2.`
Vậy cặp số nguyên tố `(p;q)` thỏa mãn là: `(2;3).`
