Giải thích các bước giải:
\(P=\frac{(ab-1)(bc-1)(ca-1)}{abc}=\frac{abc(abc-a-b-c)+(ab+bc+ca-1)}{abc}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca-1\) \(\vdots\) \(abc\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a \geq b \geq c >0\)
Ta có: \(abc<ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow abc<a(b+c)+bc \leq 2ab+b^2\)
\(\Rightarrow ac<2a+b\leq 2a+a=3a\)
\(\Rightarrow c<3 \Rightarrow c \in\) {\(1;2\)}
TH1: với \(c=1 \Rightarrow ab+a+b-1\) \(\vdots\) \(ab\)
\(\Rightarrow a+b-1\) \(\vdots\) \(ab\) \(\Rightarrow a+b-1 \geq ab\)
\(\Rightarrow (a-1)(b-1) \le 0 \Rightarrow a \in N^*,b=1\)
\(\Rightarrow P=0\)
TH2: \(c=2 \Rightarrow ab+2a+2b-1\) \(\vdots\) \(2ab\)
\(\Rightarrow 2a+2b-1 \geq ab\)
\(\Rightarrow (a-2)(b-2) \leq 3\)
\(\Rightarrow (a;b) \in\) {\((5;3),(4;3),(3;3),(n;2)\)} Với \(n \in N^*\) và \(n>2\)
\(\Rightarrow P=\) {\(21;\frac{385}{24};\frac{100}{9};n-1+\frac{3}{2}\)} Với \(n \in N^*\) và \(n>2\)
Vậy \((a;b;c)\) cần tìm là \((n;1;1),(5;3;2)\) và các hoán vị
