Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Từ giả thiết ta có: $(x;y\in N)$
$x^{3}=y^{3}+2(x^{2}+y^{2})+3xy+17> y^{3}+4y^{2}+3y^{2}+17> (y+1)^{3}\Rightarrow x> y+1\Rightarrow x\geq y+2$ ( $x>y$ )
$PT\Leftrightarrow x^{3}-y^{3}-2(x^{2}+y^{2}+xy)=xy+17\Leftrightarrow (x-y-2)(x^{2}+y^{2}+xy)=xy+17$
Ta có đánh giá : $xy\leq \frac{x^{2}+y^{2}+xy}{3}\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)
$\Rightarrow (x-y-2)(x^{2}+y^{2}+xy)=xy+17\leq \frac{x^{2}+y^{2}+xy}{3}+17\Rightarrow (x-y-\frac{7}{3})(x^{2}+y^{2}+xy)\leq 17\Rightarrow (x-y-3)(x^{2}+y^{2}+xy)<17\Rightarrow (x-y-3)(x^{2}+y^{2}+xy)\leq 16$ (1)
Do đã có $x\geq y+2$ nên xét $\begin{bmatrix} x=y+2 & \\ x=y+3 & \end{bmatrix}$
Còn $x\geq y+4\Rightarrow (x-y-3)(x^{2}+y^{2}+xy)> x^{2}+y^{2}+xy\geq (y+4)^{2}+y^{2}+y(y+4)\geq 16$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow y=0$
Tổng kết lại ta có 3 trường hợp:
$\begin{bmatrix} x=y+2 & & \\ x=y+3 & & \\ y=0 & & \end{bmatrix}$
Thay vào... ta tìm được kết quả
