Đặt $p+q=m^2(m>0)$ và $p+4q=n^2(n> 0)$ và $m<n$
$3q = \left( {m - n} \right)\left( {m + n} \right)$
Vì q là số nguyên tố nên $3q$ chỉ có thể phân tích thành thừa số nguyên tố là $(1,3q)$ và $(3;q)$
Ta chia hai trường hợp:
Nếu $\begin{array}{l} n - m = 1,n + m = 3q\\ \Rightarrow n = m + 1,3q = m + n = 2m + 1\\ + p = {m^2} - q = {m^2} - \dfrac{{2m + 1}}{3} = \dfrac{{3{m^2} - 2m - 1}}{3} = \dfrac{{\left( {3m + 1} \right)\left( {m - 1} \right)}}{3}\\ \end{array}$
Vì $3m+1\not\vdots 3$ nên $ \Rightarrow m - 1 \vdots 3$. Vì $p$ là số nguyên tố nên $m-1=3\Rightarrow p=13$ và $3q=9\Rightarrow q=3$
Thử lại ta được $p+q=16$ và $p+4q=25$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Nếu $\begin{array}{l} n - m = 3,q = n + m\\ \Rightarrow q = n + m = 2m + 3\\ \Rightarrow p = {m^2} - q = {m^2} - 2m + 3 = \left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) \end{array}$
Vì $p$ là số nguyên tố nên $m-3=1\Rightarrow m=4$ do $m+1$ không thể bằng 1.
Vì $m=4$ nên $p=5$, $q=2m+3=11$
Thử lại $p+q=5+11=16$, $p+4q=5+4.11=49$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy $(p;q)=(13;3),(5;49)$
