Đáp án:

Không tồn tại giá trị x TMĐK

Giải thích các bước giải:

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (m) (x>0)

Do hình chữ nhật có chu vi bằng a (m)

⇒ Chiều rộng hình chữ nhật là \(\dfrac{a}{2} - x\) (m)

Do hình chữ nhật có diện tích bằng a (m²)

⇒ Chiều rộng hình chữ nhật bằng \(\dfrac{a}{x}\left( m \right)\)

⇒ Ta có phương trình 

\(\begin{array}{l}
\dfrac{a}{2} - x\\
\dfrac{a}{x} = \dfrac{a}{2} - x\left( 1 \right)
\end{array}\)

Lại có đường chéo bằng \(3\sqrt 5 \) (m)

\(\begin{array}{l}
 \to {x^2} + {\left( {\dfrac{a}{x}} \right)^2} = {\left( {3\sqrt 5 } \right)^2}\\
 \to {x^4} + {a^2} - 45{x^2} = 0\left( 2 \right)
\end{array}\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\begin{array}{l}
 \to \left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + {a^2} - 45{x^2} = 0\\
\dfrac{a}{x} = \dfrac{a}{2} - x
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
{x^4} + {a^2} - 45{x^2} = 0\\
2a = ax - {x^2}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {2 - x} \right)a =  - {x^2}\\
{x^4} + {a^2} - 45{x^2} = 0
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
a = \dfrac{{ - {x^2}}}{{2 - x}}\left( {x \ne 2} \right)\\
{x^4} + {\left( {\dfrac{{ - {x^2}}}{{2 - x}}} \right)^2} - 45{x^2} = 0\left( 3 \right)
\end{array} \right.\\
\left( 3 \right) \to {x^4} + \dfrac{{{x^4}}}{{4 - 4x + 4{x^2}}} - 45{x^2} = 0\left( 3 \right)\\
 \to 4{x^4} - 4{x^5} + 4{x^6} + {x^4} - 180{x^2} + 180{x^3} - 180{x^4} = 0\\
 \to 4{x^6} - 4{x^5} - 175{x^4} + 180{x^3} - 180{x^2} = 0\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
x = 0(l)\\
4{x^4} - 4{x^3} - 175{x^2} + 180x - 180 = 0\left( {vô nghiệm} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

⇒ Không tồn tại giá trị x TMĐK