Xét đa thức bậc hai q(x) = p(x) − x − 1. Khi đó
q(1) = p(1) − 1 − 1 = 0 và q(2) = p(2) − 2 − 1 = 0. Suy ra q(x) chia hết cho x − 1, x − 2. Do q(x) có bậc 2 nên
q(x) = a(x − 1)(x − 2). Nhưng q(3) = p(3) − 3 − 1 = 4 nên
q(3) = a(3 − 1)(3 − 2) = 4 ⇔ a = 2.
Vậy p(x) = q(x) + x + 1 = 2(x − 1)(x − 2) + x + 1
= 2(x² − 3x + 2) + x + 1 = 2x² − 5x + 5.
Vậy p(x) = 2x² − 5x + 5