*Công thức heron: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\left(p=\dfrac{a+b+c}{2}\right)$
Chứng minh:
Đặt: $AC=b,AB=c,BC=a$
Không mất tính tổng quát giả sử trong $\Delta ABC$ có $\widehat{A}$ lớn nhất và $AB>AC$
Kẻ $AD\bot BC(D\in BC, BD>DC)$ và $D$ nằm giữa $B,C$
$AD^2+BD^2=AB^2,AD^2+DC^2=AC^2\to AB^2-AC^2=(BD-DC)(BD+DC)\to c^2-b^2=(BD-DC).a\\\to DB-DC=\dfrac{c^2-b^2}{a}$
Ta có hệ: $\begin{cases} DB-DC=\dfrac{c^2-b^2}{a}\\DB+DC=a\end{cases}\to BD=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}$
$AD^2+BD^2=AB^2\to AD^2=AB^2-BD^2=c^2-\left(\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)^2\\=\left(c-\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)\left(c+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)=\dfrac{(a+c-b)(a+b+c)(b+a-c)(b+c-a)}{4a^2}=\dfrac{(a+b+c)(a+b+c-2b)(a+b+c-2c)(a+b+c-2a)}{4a^2}=\dfrac{2p.(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)}{4a2}=\dfrac{16p(p-a)(p-b)(p-c)}{4a^2}\\\to AD=\dfrac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}\\\to S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Trở lại bài:
Không mất tính tổng quát giả sử: $a:b:c=9:10:17$
$\to \dfrac{a}{9}=\dfrac{b}{10}=\dfrac{c}{17}(*)$
Đặt $(*)=k(k>0)\to \begin{cases} a=9k\\b=10k\\c=17k\end{cases}$
$p=\dfrac{9k+10k+17k}{2}=18k\\S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{18k (18k-9k)(18k-10k)(18k-17k)}=\sqrt{36k^4}=6k^2\\\to 6k^2=144\\\to k=2\sqrt{6}(k>0)\\\to \begin{cases} a=18\sqrt{6}cm\\b=20\sqrt{6}cm\\c =34\sqrt{6}cm\end{cases}$
