Lời giải:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} x^2y+xy^2=1\\ xy+x+y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy(x+y)=1\\ xy+x+y=3\end{matrix}\right.\)
Đặt \(x+y=a; xy=b\) thì hệ trở thành: \(\left\{\begin{matrix} ab=1\\ a+b=3\end{matrix}\right.\)
Theo định lý Viete đảo thì $a,b$ sẽ là nghiệm của pt:
\(X^2-3X+1=0\)
Do đó: \((a,b)=(\frac{3+\sqrt{5}}{2}; \frac{3-\sqrt{5}}{2})\) hoặc \((\frac{3-\sqrt{5}}{2}; \frac{3+\sqrt{5}}{2})\)
TH1:
Nếu \((a,b)=(\frac{3+\sqrt{5}}{2}; \frac{3-\sqrt{5}}{2})\) tức là \((x+y,xy)=(\frac{3+\sqrt{5}}{2}; \frac{3-\sqrt{5}}{2})\)
Theo đl Viete đảo, $x,y$ là nghiệm của pt:
\(X^2-\frac{3+\sqrt{5}}{2}X+\frac{3-\sqrt{5}}{2}=0\)
\(\Delta=(\frac{3+\sqrt{5}}{2})^2-4.\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\frac{-5+7\sqrt{5}}{2}\)
Áp dụng công thức nghiệm của pt bậc 2 thì:
\((x,y)=(\frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}+\sqrt{\frac{-5+7\sqrt{5}}{2}}}{2}, \frac{\frac{3+\sqrt{5}}{2}-\sqrt{\frac{-5+7\sqrt{5}}{2}}}{2})\approx (2,463;0,155)\) và hoán vị
TH2:
\((x+y,xy)=(a,b)=(\frac{3-\sqrt{5}}{2}; \frac{3+\sqrt{5}}{2})\)
Tương tự như TH1 nhưng trường hợp này pt vô nghiệm do Delta < 0)
Vậy--..
