Đáp án: $C_{min} = 4$ tại $x=2$
Giải thích các bước giải:
$\text{Bạn bổ sung đề, bài này là tìm Giá trị nhỏ nhất nhé bạn !}$
Ta có $C = \dfrac{x^2}{x-1} = \dfrac{(x^2-1)+1}{x-1}$
$ = \dfrac{(x-1).(x+1)+1}{x-1} = (x+1) + \dfrac{1}{x-1}$
$ = \bigg[(x-1)+\dfrac{1}{x-1}\bigg] + 2$
Vì $x>1 ⇒ \left\{ \begin{array}{l}x-1>0\\\dfrac{1}{x-1}>0\end{array} \right.$
Ta đi chứng minh $BĐT$ phụ sau :
$a+\dfrac{1}{a} ≥ 2 (a > 0)$ ( BĐT này được phát biểu như sau : Tổng nghịch đảo hai số không âm luôn lớn hơn hoặc bằng $2$ )
Thật vậy, $BĐT$ cần chứng minh trở thành :
$a+\dfrac{1}{a}-2 ≥ 0 $
$⇔ \dfrac{a^2+1-2a}{a} ≥ 0 $
$⇔ \dfrac{(a-1)^2}{a} ≥ 0 $ ( Đúng với $a>0$ )
Dấu "=" xảy ra $⇔a=\dfrac{1}{a} ⇔ a=1$
Vậy ta có $a+\dfrac{1}{a} ≥ 2$ với $a>0$
Áp dụng vào bài toán trên với $x-1>0$ và $\dfrac{1}{x-1}>0$ ta có :
$(x-1)+\dfrac{1}{x-1} ≥ 2 ⇒ \bigg[(x-1)+\dfrac{1}{x-1}\bigg] +2 ≥ 4$
Hay $C ≥ 4$
Dấu "=" xảy ra $⇔ x-1=\dfrac{1}{x-1} ⇔ (x-1)^2=1$
$⇔x-1=1$ ( Do $x-1>0$ )
$⇔x=2$
Vậy $C_{min} = 4$ tại $x=2$
