Tìm giá trị của m để hàm số \(y=- \frac{1}{3}{{x}^{3}}-m{{x}^{2}}+ \left( 2m-3 \right)x-m+2 \) nghịch biến trên tập xác định. A.\(m<1\) B.\(-3\le m\le 1\) C.\(-3<m<1\) D. \(\left[ \begin{align} & m\le -3 \\ & m\ge 1 \\ \end{align} \right.\)
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:Tập xác định: \(D=R.\) Ta có: \(y'=-{{x}^{2}}-2mx+2m-3\) \(\Rightarrow \) Hàm số nghịch biến trên tập xác định \(\Leftrightarrow y'\le 0\,\,\forall x\in R\Leftrightarrow -{{x}^{2}}-2mx+2m-3\le 0\,\,\forall \,\,x\in R\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < 0\,\,\forall \,m\\{m^2} + 2m - 3 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m \le 1.\) +) Xét với \(m=-3\) ta có: \(y'=-{{x}^{2}}+6x-9=-{{\left( x-3 \right)}^{2}}\le 0\,\,\forall x\in R\Rightarrow m=-3\) thì hàm số nghịch biến trên R. +) Xét với \(m=1\) ta có: \(y'=-{{x}^{2}}-2x-1=-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\le 0\,\,\forall x\in R\Rightarrow m=1\) thì hàm số nghịch biến trên R. Chọn B.