Đáp án:
\[\left[ \begin{array}{l}
m = 5\\
m = - \frac{{25}}{{19}}
\end{array} \right.\]
Giải thích các bước giải:
Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {x \ge 0} \right)\) thì phương trình đã cho trở thành:
\[{t^2} - \left( {3m + 5} \right)t + {\left( {m + 1} \right)^2} = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]
Ta thấy cứ 1 nghiệm \(t > 0\) cho ta 2 nghiệm \(x\) thỏa mãn nên phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
Do đó,
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
Δ> 0\\
{t_1} + {t_2} > 0\\
{t_1}.{t_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {3m + 5} \right)^2} - 4.{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\
3m + 5 > 0\\
{\left( {m + 1} \right)^2} > 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {3m + 5} \right)^2} - {\left( {2m + 2} \right)^2} > 0\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {5m + 7} \right)\left( {m + 3} \right) > 0\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
m > - \frac{7}{5}\\
m < - 3
\end{array} \right.\\
m > - \frac{5}{3}\\
m \ne - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{7}{5}\\
m \ne - 1
\end{array} \right.\left( * \right)
\end{array}\)
Khi đó, phương trình (1) có 2 nghiệm \({t_1} < {t_2}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} = 3m + 5\\
{t_1}.{t_2} = {\left( {m + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\)
Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt theo thứ tự \( - \sqrt {{t_2}} < - \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_2}} \)
4 nghiệm trên lập thành CSC nên ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_1} = - \sqrt {{t_2}} ;\,\,\,{u_2} = - \sqrt {{t_1}} ;\,\,{u_3} = \sqrt {{t_1}} ;\,\,\,{u_4} = \sqrt {{t_2}} \\
\left. \begin{array}{l}
d = {u_3} - {u_2} = 2\sqrt {{t_1}} \\
3d = {u_4} - {u_1} = 2\sqrt {{t_2}}
\end{array} \right\} \Rightarrow 2\sqrt {{t_2}} = 3.2\sqrt {{t_1}} \Leftrightarrow {t_2} = 9{t_1}\\
\left\{ \begin{array}{l}
{t_1} + {t_2} = 3m + 5\\
{t_1}.{t_2} = {\left( {m + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
10{t_1} = 3m + 5\\
9{t_1}^2 = {\left( {m + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{t_1} = \frac{{3m + 5}}{{10}}\\
{t_1} = \pm \frac{{m + 1}}{3}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{{3m + 5}}{{10}} = \frac{{m + 1}}{3}\\
\frac{{3m + 5}}{{10}} = - \frac{{m + 1}}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 5\\
m = - \frac{{25}}{{19}}
\end{array} \right.\left( {t/m\,\,\,\left( * \right)} \right)
\end{array}\)
Vậy \(\left[ \begin{array}{l}
m = 5\\
m = - \frac{{25}}{{19}}
\end{array} \right.\)
