Đáp án đúng: B
Phương pháp giải:
Đặt \({x^2} = t\,\,\left( {t \ge 0} \right).\) Phương trình bài cho có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình ẩn \(t\) có hai nghiệm dương phân biệt.
Áp dụng định lý Vi-et và biểu thức bài cho để tìm \(m.\)
Giải chi tiết:\({x^4} - \left( {2m + 4} \right){x^2} + 2m + 3 = 0 \Leftrightarrow {x^4} - 2\left( {m + 2} \right){x^2} + 2m + 3 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
Đặt \({x^2} = t\,\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)\) phương trình trở thành \({t^2} - 2\left( {m + 2} \right)t + 2m + 3 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
\(\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {2m + 3} \right) = {m^2} + 4m + 4 - 2m - 3 = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}.\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có 4 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \,\,\left( 2 \right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt \({t_1},\,\,{t_2}\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{t_1} + {t_2} > 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\2m + 4 > 0\\2m + 3 > 0\end{array} \right.\\{t_1}{t_2} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1
e 0\\2m > - 4\\2m > - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m
e - 1\\m > - 2\\m > - \frac{3}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m
e - 1\\m > - \frac{3}{2}\end{array} \right..\)
Khi đó phương trình \(\left( 1 \right)\) có 4 nghiệm phân biệt là: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \sqrt {{t_1}} \\{x_2} = - \sqrt {{t_1}} \\{x_2} = \sqrt {{t_2}} \\{x_2} = - \sqrt {{t_2}} \end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{x_1^2}} + \frac{1}{{x_2^2}} + \frac{1}{{x_3^2}} + \frac{1}{{x_4^2}} - \frac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}} = 5\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{{t_1}}} + \frac{1}{{{t_1}}} + \frac{1}{{{t_2}}} + \frac{1}{{{t_2}}} - \frac{1}{{\sqrt {{t_1}} .\left( { - \sqrt {{t_1}} } \right).\sqrt {{t_2}} .\left( { - \sqrt {{t_2}} } \right)}} = 5\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{t_1}}} + \frac{2}{{{t_2}}} - \frac{1}{{{t_1}{t_2}}} = 5\\ \Leftrightarrow 2\left( {{t_1} + {t_2}} \right) - 1 = 5{t_1}{t_2}\\ \Leftrightarrow 2\left( {2m + 4} \right) - 1 = 5\left( {2m + 3} \right)\\ \Leftrightarrow 4m + 8 - 1 = 10m + 15\\ \Leftrightarrow 6m = - 8 \Leftrightarrow m = - \frac{4}{3}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy \(m = - \frac{4}{3}.\)
Chọn B.
