Đáp án:
GTLN $A = 2\sqrt[]{3}$
Giải thích các bước giải:
$A = 2x + \sqrt[]{4-2x^{2}}$
ĐKXĐ : $4 - 2x^{2} ≥ 0 ⇔ x^{2} ≤ 2 ⇔ -\sqrt[]{2} ≤ x ≤ \sqrt[]{2}$
Ta đi chứng minh bất đẳng thức Bunhiacopski :
$( ax + by )^{2} ≤ ( a^{2} + b^{2} )( x^{2} + y^{2} )$ với $∀ a , b , x , y$
⇔ $(ax)^{2} + 2abxy + (by)^{2} ≤ (ax)^{2} + (ay)^{2} + (bx)^{2} + (by)^{2}$
⇔ $(ay)^{2} - 2abxy + (bx)^{2} ≥ 0$
⇔ $( ay - bx )^{2} ≥ 0$ luôn đúng với $∀ a , b , x , y$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $ay = bx$
Ta có :
$A = 2x + \sqrt[]{4-2x^{2}}$
⇔ $A^{2} = ( \sqrt[]{2}×\sqrt[]{2}x + \sqrt[]{4-2x^{2}} )^{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski :
⇒ $A^{2} ≤ ( 2 + 1 )( 2x^{2} + 4 - 2x^{2} )$
⇔ $A^{2} ≤ 12$
⇒ $A ≤ 2\sqrt[]{3}$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $\sqrt[]{2}×\sqrt[]{4-2x^{2}} = \sqrt[]{2}x$
⇔ $\sqrt[]{4-2x^{2}} = x ( x ≥ 0 )$
⇔ $4 - 2x^{2} = x^{2}$
⇔ $x = \frac{2\sqrt[]{3}}{3}$ (TM)
