Đáp án đúng:
Phương pháp giải:
Áp dụng hằng đẳng thức để đưa biểu thức đã cho về dạng \(P = - {\left( {x \pm a} \right)^2} + c \le c\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = \mp a\).Giải chi tiết:a) Ta có:
\(M = 4x-{x^2} + 3 = - {x^2} + 4x - 4 + 7 = - {\left( {x - 2} \right)^2} + 7\)
Ta có: \({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in R\)
\( \Rightarrow - {\left( {x - 2} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in R\)
\( \Rightarrow - {\left( {x - 2} \right)^2} + 7 \le 7\) với mọi \(x \in R\)
Vậy \(M \le 7\) với mọi \(x \in R\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(M\) là \(7\) tại \(x = 2\).
b) Ta có:
\(N = x-{x^2}\)\( = - {x^2} + 2.\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\)\( = - {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4}\)
Ta có: \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in R\)
\( \Rightarrow - {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in R\)
\( \Rightarrow - {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{4} \le \frac{1}{4}\) với mọi \(x \in R\)
Vậy \(N \le \frac{1}{4}\) với mọi \(x \in R\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(N\) là \(\frac{1}{4}\) tại \(x = \frac{1}{2}\).
c) Ta có:
\(P = 4x-2{x^2}-10\)\( = - 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 8 = - 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 8\)
Ta có: \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in R\)
\( \Rightarrow - 2{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0\) với mọi \(x \in R\)
\( \Rightarrow - 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 8 \le - 8\) với mọi \(x \in R\)
Vậy \(P \le - 8\) với mọi \(x \in R\)
Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \( - 8\) tại \(x = 1\).
