Đáp án:
$D.\ f(1)-5$
Giải thích các bước giải:
$\quad h(x) = f(x+1) - \dfrac{x^3}{3} + x - 5$
$\Rightarrow h'(x)= f'(x+1) - x^2 + 1$
$h'(x)= 0 \Leftrightarrow f'(x+1)= x^2 - 1 \Leftrightarrow f'(x+1)= (x+1)^2 - 2(x+1)\quad (*)$
Xét sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số $y = f'(x)$ và $y = x^2 - 2x$ ta được:
$(*)\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x + 1 = a,\ \ a\in (-\infty;-1)\\x +1 = 0\\x + 1 = 1\\x + 1 = b,\ \ b\in (2;+\infty)\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = a - 1,\ \ a-1\in (-\infty;-2)\\x = -1\\x = 0\\ x = b -1,\ \ b\in(1;+\infty)\end{array}\right.$
Ta có bảng xét dấu:
$\begin{array}{c|ccc}x&-\infty&&a-1&&-1&&0&&b-1&&2&&+\infty\\\hline h'(x)&&+&0&-&0&+&0&-&0&+&\vert&+&\\\end{array}$
Dựa vào bảng xét dấu ta được:
$\mathop{\max}\limits_{[-1;2]}g(x)= g(0) = f(1)-5$