Đặt $t=\sqrt{(x+7)(3-x)}$ với $t \ge 0$
Ta có $t^2=-x^2-4x+21=-(x+2)^2+25\le 25\Rightarrow t\le 5$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=-2$ nằm trong $[-7;3]$. Vậy $0\le t\le 5$
Bất phương trình trở thành $t\le -t^2+23+m\Rightarrow m\ge t^2+t-23$ trong đoạn $t\in[0;5]$
Để bất phương trình luôn có nghiệm đúng $\forall x\in [-7;3]$ thì bất phương trình luôn có nghiệm đúng $\forall t\in[0;5]$
Yêu cầu đề bài tương đương với $m \ge \mathop {\max \left( {{t^2} + t - 23} \right) = 7}\limits_{[0;5]}$
Vậy $m\ge 7$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.
