Đáp án:
GTNN là $2015$, đạt đc khi $x = -\dfrac{1}{2}$ và $y = 2$.
Giải thích các bước giải:
Ta có
$A = 4x^2 + 2y^2 + 4xy - 4x - 6y + 2020$
$= (4x^2 + 4xy + y^2) + (y^2 - 6y + 9) - 4x + 2011$
$= (2x+y)^2 + (y-3)^2 - 2.2x + 2011$
$= (2x+y)^2 + (y-3)^2 - 2[(2x+y) - (y-3) -3] + 2011$
$= (2x+y)^2 -2(2x+y) + (y-3)^2 + 2(y-3) +2017$
$= [(2x+y)^2 -2(2x+y) + 1] + [(y-3)^2 + 2(y-3) + 1] + 2015$
$= (2x + y - 1)^2 + (y-3 + 1)^2 + 2015$
$= (2x+y-1)^2 + (y-2)^2 + 2015$
Ta có
$(2x+y-1)^2 + (y-2)^2 \geq 0$ với mọi $x, y$
$\Leftrightarrow (2x+y-1)^2 + (y-2)^2 + 2015 \geq 2015$ với mọi $x, y$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $2x + y - 1 = y-2 = 0$ hay $x = -\dfrac{1}{2}$ và $y = 2$
Vậy GTNN là $2015$, đạt đc khi $x = -\dfrac{1}{2}$ và $y = 2$.
