Đáp án:
\[{A_{\min }} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = b = c\]
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia - Copski ta có:
\(\begin{array}{l}
A = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + a}} + \frac{c}{{b + a}}\\
= \left( {\frac{a}{{b + c}} + 1} \right) + \left( {\frac{b}{{c + a}} + 1} \right) + \left( {\frac{c}{{b + a}} + 1} \right) - 3\\
= \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{b + c + a}}{{c + a}} + \frac{{c + b + a}}{{b + a}} - 3\\
= \left( {a + b + c} \right).\left( {\frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{b + a}}} \right) - 3\\
\ge \left( {a + b + c} \right).\frac{{{{\left( {1 + 1 + 1} \right)}^2}}}{{\left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right) + \left( {b + a} \right)}} - 3\\
= \left( {a + b + c} \right).\frac{9}{{2\left( {a + b + c} \right)}} - 3\\
= \frac{9}{2} - 3\\
= \frac{3}{2}
\end{array}\)
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\)
Vậy \({A_{\min }} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = b = c\)
