Đáp án:
\[{D_{\min }} = 3 \Leftrightarrow a = b = c = 1\]
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho các số dương ta có:
\(\begin{array}{l}
{a^3} + {b^3} + 1 \ge 3.\sqrt[3]{{{a^3}.{b^3}.1}} = 3.\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}}} = 3ab\\
{b^3} + {c^3} + 1 \ge 3.\sqrt[3]{{{b^3}.{c^3}.1}} = 3.\sqrt[3]{{{b^3}.{c^3}}} = 3bc\\
{c^3} + {a^3} + 1 \ge 3.\sqrt[3]{{{c^3}.{a^3}.1}} = 3.\sqrt[3]{{{c^3}{a^3}}} = 3ca\\
\Rightarrow \left( {{a^3} + {b^3} + 1} \right) + \left( {{b^3} + {c^3} + 1} \right) + \left( {{c^3} + {a^3} + 1} \right) \ge 3ab + 3bc + 3ca\\
\Leftrightarrow 2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) + 3 \ge 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\
\Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} \ge 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ab + bc + ca = 3} \right)\\
\Rightarrow {D_{\min }} = 3 \Leftrightarrow a = b = c = 1
\end{array}\)
Vậy \({D_{\min }} = 3 \Leftrightarrow a = b = c = 1\)
